Flatland

Dès que le Cri-de-Paix de mon Épouse eut cessé de retentir, jem’approchai de l’Étranger dans le but de mieux l’examiner et del’inviter à s’asseoir ; mais son apparence me cloua sur placeet me coupa la parole. Quoiqu’il ne présentât pas le plus légersymptôme d’angularité, il n’en subissait pas moins à tout instantdes variations de taille et d’éclat tout à fait étrangères à monexpérience. L’idée me vint brusquement que j’avais peut-êtreaffaire à un cambrioleur, à un assassin, à quelque Isocèlemonstrueusement Irrégulier qui, en imitant la voix d’un Cercle,avait réussi à s’introduire dans ma maison et s’apprêtait à mepoignarder avec son angle aigu.

L’absence de Brouillard dans mon salon (la saison étaitd’ailleurs remarquablement sèche) m’interdisait de me fierabsolument à mes facultés de Connaissance Visuelle, d’autant que jeme trouvais à une très faible distance de l’Étranger. En désespoirde cause, je me ruai sur lui, m’écriai sans cérémonie : « Monsieur,il faut me permettre… » et le touchai. Ma Femme avait raison. On nesentait pas trace d’angle, pas la moindre rugosité ou inégalité, ilne m’avait encore jamais été donné dans mon existence de rencontrerun Cercle aussi parfait. Il demeura immobile pendant que je lecontournais, en commençant par son œil et en y revenant. Il étaitparfaitement Circulaire aucun doute là-dessus. Nous eûmes ensuiteun entretien, que je vais m’efforcer de rapporter aussi fidèlementque possible, en ne passant sous silence qu’une partie du torrentd’excuses dont j’inondai mon Visiteur… car l’idée que moi, unCarré, j’eusse commis l’impertinence de toucher un Cercle meremplissait de honte et d’humiliation. Ce fut l’Étranger qui,impatienté par la longueur de mon examen, entama le dialogue.

L’Étranger. Ne m’avez-vous point suffisammenttouché ? Ne croyez-vous pas que les présentations ont assezduré ?

Moi. Illustre Seigneur, je vous prie d’excuser mamaladresse, qui n’est pas due à une ignorance des usages, mais à lasurprise et à la nervosité qu’a provoquées en moi votre visiteassez inattendue. Je vous supplie de ne révéler mon impolitesse àpersonne, et surtout pas à ma Femme. Mais avant de poursuivre notreentretien, Votre Seigneurie daignerait-elle satisfaire la curiositéde son Serviteur, qui serait heureux d’apprendre d’où ellevient ?

L’Étranger. De l’Espace, de l’Espace, Monsieur. D’oùVoulez-vous que je vienne ?

Moi. Pardonnez-moi, Monseigneur, mais Votre Seigneurien’est-elle pas en ce moment même dans l’Espace, et son humbleserviteur également ?

L’Étranger. Pff ! Que savez-vous del’Espace ? Définissez-le-moi.

Moi. L’Espace, Monseigneur, c’est la hauteur et lalargeur prolongées à l’infini.

L’Étranger. Et voilà. Vous ne savez même pas ce quec’est que l’Espace. Vous le croyez formé de Deux Dimensionsseulement ; mais je suis venu vous en annoncer une troisième :hauteur, largeur et longueur.

Moi. Votre Seigneurie plaisante. Nous disons aussilongueur et hauteur, largeur et épaisseur, désignant ainsi DeuxDimensions par quatre noms.

L’Étranger. Je parle non pas de trois noms, mais deTrois Dimensions.

Moi. Votre Seigneurie voudrait-elle m’indiquer oum’expliquer dans quelle direction se situe cette TroisièmeDimension, qui m’est inconnue ?

L’Étranger. J’en viens. Elle est au-dessus etau-dessous.

Moi. Monseigneur veut sans doute dire vers le Nord etvers le Sud ?

L’Étranger. Absolument pas. Il s’agit d’une directiondans laquelle vous ne pouvez point regarder, parce que vous n’avezpas d’œil dans votre côté.

Moi. Que Monseigneur me pardonne, un léger examensuffira à le convaincre que je possède, au point de jonction dedeux de mes côtés, un luminaire en parfait état.

L’Étranger. Oui. Cependant, pour voir dans l’Espace, ilvous faudrait avoir un œil non pas sur votre Périmètre, mais survotre côté, c’est-à-dire dans ce qu’à Spaceland nous nommerionsvotre côté.

Moi. Un œil dans mes entrailles ! Un œil dans monestomac ! Votre Seigneurie se moque.

L’Étranger. Je ne suis pas d’humeur à plaisanter. Jevous dis que je viens de l’Espace, ou, puisque vous ne comprenezpas ce terme, du Pays des Trois Dimensions, d’où, récemment encore,j’apercevais votre Surface Plane, à laquelle vous donnez le nomd’Espace. De cette position avantageuse, je discernais tout ce qui,chez vous, passe pour être solide (c’est-à-dire, pour vous, « closde quatre côtés »), vos maisons, vos temples, jusqu’à vos commodeset à vos coffres, oui, même jusqu’à vos entrailles, qui étaientexposées à mon regard.

Moi. Voilà qui est facile à dire, Monseigneur.

L’Étranger. Mais plus difficile à prouver, n’est-cepas ? Eh bien, je vais vous en donner la preuve :

En descendant ici, j’ai vu vos quatre Fils, les Pentagones,chacun dans son appartement respectif, et vos deux Petits-fils, lesHexagones ; j’ai observé que le plus jeune d’entre eux restaitun moment avec vous, puis se retirait, vous laissant seuls, votreFemme et vous. J’ai vu vos serviteurs Isocèles, au nombre de trois,en train de souper dans la cuisine, et le petit Page dans labuanderie. Puis je suis venu, et par où suis-je entré, à votreavis ?

Moi. Par le toit, je suppose.

L’Étranger. Pas du tout. Votre toit, comme vous lesavez fort bien, a été réparé depuis peu et il n’y subsiste pasmême la plus petite ouverture par laquelle une Femme puissepénétrer. Je vous répète que je viens de l’Espace. N’êtes-vouspoint convaincu par ce que je vous ai dit de vos enfants et devotre maisonnée ?

Moi. Votre Seigneurie ne peut ignorer que, pourapprendre ces faits touchant aux possessions de son humbleserviteur, il suffit d’interroger les gens du voisinage, ce quin’est pas difficile pour Monseigneur.

L’Étranger. (En aparté) Que faire ? Allons, voilàencore un argument qui se présente à moi. Quand vous voyez uneLigne Droite – votre épouse, par exemple – combien de Dimensionslui attribuez-vous ?

Moi. Votre Seigneurie prend plaisir à me traiter commesi j’étais l’une de ces personnes du commun qui, ignorant lesMathématiques, supposent que la Femme est réellement une LigneDroite et n’a qu’une Dimension. Non, non, Monseigneur ; noussommes mieux informés, nous, les Carrés, et nous savons aussi bienque Votre Seigneurie que la Femme, populairement appelée LigneDroite, est en réalité, du point de vue scientifique, un très minceParallélogramme possédant comme nous autres Deux Dimensions, lalongueur et la largeur (ou épaisseur).

L’Étranger. Mais le fait même qu’une Ligne soit visibleimplique qu’elle possède encore une autre Dimension ?

Moi. Monseigneur, je viens de reconnaître qu’une Femmeest non seulement longue, mais également large. Nous voyons salongueur ; nous calculons sa largeur, qui, aussi minimequ’elle soit, est susceptible d’être mesurée.

L’Étranger Vous ne me comprenez pas. Je veux dire qu’envoyant une Femme vous devriez – outre que vous calculez sa largeur– avoir conscience de sa longueur et de ce que nous appelons sahauteur ; quoique cette dernière Dimension soit infinitésimaledans votre pays. Si une Ligne n’était que longueur sans « hauteur», elle cesserait d’occuper de l’Espace et deviendrait invisible.Vous reconnaissez sûrement cela ?

Moi. Je dois avouer que je ne comprends pas du toutVotre Seigneurie. À Flatland, quand nous voyons une Ligne, noussommes conscients de sa longueur et de son éclat. Si l’éclats’évanouit, la Ligne disparaît et, comme vous le dites, cessed’occuper de l’Espace. Mais dois-je supposer que Votre Seigneurieaccorde à l’éclat le titre de Dimension et qu’elle baptise « haut »ce que nous appelons « brillant » ?

L’Étranger. Ce n’est nullement cela. J’entends par «hauteur », une Dimension du même type que votre longueur ;seulement, chez vous, la « hauteur », étant extrêmement réduite,n’est pas aussi facilement perceptible.

Moi. Monseigneur, il doit vous être facile de prouvervos dires. J’ai, selon vous, une Troisième Dimension, que vousappelez « hauteur ». Or, le concept de Dimension implique directionet mesure. Mesurez donc ma hauteur », ou encore indiquez-moi ladirection dans laquelle elle s’étend, et je deviendrai votredisciple. Sinon, je serai dans l’incapacité de suivre leraisonnement de Votre Seigneurie.

L’Étranger. (En aparté.) Je ne peux faire ni l’un nil’autre. Comment le convaincre ? Un simple exposé des faits,suivi d’une démonstration oculaire, devrait suffire. – Maintenant,Monsieur, écoutez-moi.

Vous vivez sur une Surface Plane. Ce que vous appelez Flatlandn’est autre que la surface, plate et très étendue, de ce que jepuis appeler un liquide, au sommet duquel vous vous mouvez, vous etvos compatriotes, sans vous élever au-dessus et sans vous abaisserau-dessous.

Je ne suis pas une Figure plane, mais un Solide. Vous m’appelezCercle ; en réalité je ne suis pas un Cercle, mais un nombreinfini de Cercles, dont la taille varie du Point à la Circonférencemesurant treize pouces de diamètre, tous placés les uns au-dessusdes autres. Quand je traverse votre surface Plane, comme je le faisen ce moment, j’y découpe une section que vous baptisez Cercle avecjuste raison. Car même une Sphère – ce qui est le nom sous lequelon me désigne chez moi – si elle veut se manifester à un habitantde Flatland, doit le faire sous la forme d’un Cercle.

Ne vous rappelez-vous pas – car moi qui vois toutes choses j’aidiscerné la nuit dernière dans votre esprit la fantomatique visionde Lineland – ne vous rappelez-vous pas, dis-je, qu’en pénétrantdans ce Pays vous fûtes contraint de vous présenter au Roi sous laforme non pas d’un Carré, mais d’une Ligne, car ce Royaume Linéairene possédait pas suffisamment de Dimensions pour vous représentertout entier, et seule une section de votre personneapparaissait ? Il en est exactement de même dans le cas quinous occupe : votre pays à Deux Dimensions n’est pas assez spacieuxpour me représenter, moi qui en compte Trois, et n’admet qu’unesection de ma personne, qu’est ce que vous appelez un Cercle.

Votre regard dont l’éclat se ternit me montre que vous ne mecroyez pas. Mais préparez-vous à accueillir une preuve positive demes affirmations. Certes, vous ne pouvez voir qu’une de messections, ou Cercles ; car votre œil ne possède pas la facultéde s’élever au-dessus de votre surface ; mais il vous est aumoins permis de constater que mes sections deviennent plus petitesà mesure que je m’élève dans l’Espace. Voyez, je vaism’élever ; et vous aurez l’impression que mon Cercle serapetisse, pour se réduire à un Point et finalementdisparaître.

1. La sphère présentant sa section maximale

2. La sphère en le train de s’élever

3. La sphère sur point de disparaître

Je ne vis rien qui ressemblât à une « élévation » mais ildiminua et disparut. Je clignai une ou deux fois des paupières pourm’assurer que je ne rêvais pas. Non, il ne s’agissait pas d’unrêve. Car des profondeurs de nulle part surgit une voix creuse – ilme sembla qu’elle retentissait tout près de mon cœur – et cettevoix me dit : « N’ai-je pas disparu ? Êtes-vous convaincu àprésent ? Maintenant, je vais retourner progressivement àFlatland et vous allez voir la section s’élargir.»

Mes Lecteurs du Pays de l’Espace comprendront aisément que monHôte mystérieux parlait le langage de vérité et même qu’ils’exprimait en termes très simples Mais pour moi, aussi avancé queje fusse en mathématiques, ce n’était pas chose facile à saisir. Lediagramme ci-joint montrera clairement à n’importe quel enfantSpaceland que la Sphère, en adoptant pour s’élever les troispositions indiquées, se manifestait nécessairement à mes yeux – ilen eût été de même pour tout habitant de Flatland – sous la formed’un Cercle, d’abord de dimensions maximales, puis plus petit, etenfin minuscule comme un Point. Mais j’avais beau voir les faits,les causes restaient aussi obscures que jamais pour moi. Tout ceque j’en retenais, c’était que le Cercle avait diminué, puisdisparu, et qu’il venait de réapparaître en s’élargissantrapidement.

En recouvrant ses dimensions premières, il poussa un profondsoupir ; car il percevait à mon silence que je ne l’avaisabsolument pas compris. En réalité, je commençais à me dire qu’ildevait être, non pas un Cercle, mais un prestidigitateurextrêmement habile ; ou alors que les contes de bonnes femmesétaient vrais et qu’il existait bien, après tout, des Enchanteurset des Magiciens.

Après un long silence il murmura à part lui : « Il ne me resteplus qu’une ressource, si je veux éviter de recourir aux actes. Ilfaut essayer la méthode de l’Analogie. » Il se tut pendant quelquesinstants encore, après quoi il reprit le dialogue.

La Sphère. Dites-moi, Monsieur le Mathématicien. Si unPoint se déplace vers le Nord, et laisse derrière lui un sillagelumineux, quel nom donnerez-vous à ce sillage ?

Moi. Ce sera une Ligne Droite.

La Sphère. Et combien une Ligne Droite a-t-elled’extrémités ?

Moi. Deux.

La Sphère. Imaginez à présent que la Ligne Droitedirigée vers le Nord se meuve parallèlement à elle-même, à l’Est età l’Ouest, de sorte que chacun de ses points laisse derrière lui lesillage d’une autre Ligne Droite. Quel nom donnerez-vous à laFigure ainsi formée ? Nous supposerons que cette Ligneparcourt une distance égale à celle qu’elle avait à l’origine. Quelnom lui donnerez-vous, je vous le demande ?

Moi. Ce sera un Carré.

La Sphère. Et un carré a combien de côtés ?Combien d’angles ?

Moi. Quatre côtés et quatre angles.

La Sphère. Maintenant, faites un petit effortd’imagination et représentez-vous, à Flatland, un Carré qui se meutparallèlement à lui-même, vers le haut.

Moi. Quoi ? Vers le Nord ?

La Sphère. Non, pas vers le Nord ; vers lehaut ; qui sort complètement de Flatland.

S’il se déplaçait vers le Nord, les points Sud du Carrédevraient passer par toutes les positions précédemment occupées parles points Nord. Mais tel n’est pas le sens de mes paroles.

Je veux dire que chaque Point de votre personne, – car vous êtesun Carré et vous me servirez d’exemple – chaque Point de votrepersonne, c’est-à-dire de ce que vous appelez vos entrailles,s’élèvera dans l’Espace de telle manière qu’aucun Point ne passerapar la position précédemment occupée par un autre Point ;cependant chaque Point décrira lui-même une Ligne Droite, Tout celaest en accord avec les lois de l’Analogie et doit être parfaitementclair pour vous.

Mettant un frein à mon impatience – car, à présent, je mesentais fortement tenté de me ruer sur mon Visiteur et de leprécipiter dans l’Espace, hors de Flatland, n’importe où, pourvuque j’en fusse débarrassé je répondis :

« Et quelle pourra être la nature de cette Figure que je suiscensé former en effectuant ce mouvement appelé par vous « vers lehaut » ? Je suppose que le langage de Flatland suffit à ladécrire. »

La Sphère. Oh, certainement. C’est la chose la plussimple du monde et tout est conforme à l’Analogie… à cela près,toutefois, que vous ne devez pas appeler le résultat de cemouvement une Figure, mais un Solide. Je vais vous le décrire. Ouplutôt, je vais confier ce soin à l’Analogie.

Nous avons commencé par un Point unique qui, bien sûr – de parsa nature même – n’a qu’un Point terminal.

Un Point produit une Ligne qui a deux Points terminaux.

Une Ligne produit un Carré qui a quatre Points terminaux.

Et maintenant, vous pouvez répondre vous-même à votre proprequestion : 1, 2, 4. Voilà évidemment une Progression Géométrique.Quel est le nombre suivant ?

Moi. Huit.

La Sphère. Exactement. Le Carré produit Unechose-pour-laquelle-vous-n’avez-pas-encore-de-nom-mais-que-nous-appelons-Cubeet qui a huit Points terminaux. Et maintenant, êtes-vousconvaincu ?

Moi. Cette Créature a-t-elle non seulement des anglesou ce que vous appelez des « Points terminaux », mais aussi descôtés ?

La Sphère. Bien sûr : conformément à l’Analogie.Cependant, il ne s’agira pas de ce que vous appelez descôtés, mais de ce que nous appelons des côtés. Vouspourriez employer le terme : solides.

Moi. Et combien de solides ou de côtés aura cet Êtreque j’engendrerai en déplaçant mes entrailles en direction du «haut » et que vous appelez Cube ?

La Sphère. Comment pouvez-vous me demander cela ?Vous qui êtes mathématicien ! Le côté de quelque chose esttoujours, si je puis m’exprimer ainsi, d’une Dimension en retardpar rapport à ce quelque chose. Ainsi, comme il n’y a pas deDimension derrière un Point, le Point a 0 côté ; la Ligne, sije puis dire, a 2 côtés (car on peut, par courtoisie, donner letitre de côtés à ses Points) ; le Carré a 4 côtés. 0, 2, 4.Quelle est cette Progression ?

Moi. C’est une Progression Arithmétique.

La Sphère. Et quel est le nombre suivant ?

Moi. Six.

La Sphère. En effet. Vous voyez donc que vous avezrépondu vous-même à votre question. Le Cube que vous engendrerezsera borné par six cotés, c’est-à-dire par six de vos entrailles.Maintenant, tout est bien clair dans votre esprit n’est-cepas ?

« Monstre », hurlais-je, « je ne sais si tu es prestidigitateur,enchanteur, songe ou démon, mais je ne supporterai pas pluslongtemps tes sarcasmes. L’un de nous deux doit périr ! » Et,ce disant, je me précipitai sur lui.